引越し後、忘れてはならない手続きをここで書き出してみます。
（「今まで実家に住んでいた人が、初めての一人暮らしを始めた」という設定で書いております。）

電気、水道の手続き

電気と水道は、引越し当日から使えるようになっているはずです。
部屋の中（もしくは郵便受けなど）に、電力会社や水道局からのはがきが入っているので、なるべく早めに、入居したことを知らせる届け（はがき）を出せばOKです。
（万が一はがきが見当たらない場合は、大家さんや最寄りの営業所に電話で聞きましょう）

ガスの開栓は、ガス会社の方に来てもらい、立ち合いする必要があります

電気や水道の手続きとは異なり、ガスはほんのちょっぴり面倒です。
ガス会社の方に来てもらい、開栓作業をしてもらう必要があります。作業時は、自分も立ち合いをする必要があります。
作業自体は30分もかからず済みますが、引越しシーズンなどは希望通りの日時に来てもらえないおそれまもあります。
できるだけ早めに申し込みをしておき、入居当日にガスが使えるようにしなくてはいけません。
うっかり手続きが遅れて、お風呂に入れない・・・なんてなったら困りますよね。＾＾；

最寄りの役所へ、転入届を出す

転入した日から14日以内に、以前住んでいた市町村でもらった転出証明書を持って役所へ行き、届けを出す必要があります。

なお国保の場合は、保険証の手続きも必要です。
例えば私の場合、転居前は父が世帯主の国保に入っていたのですが、一人暮らしを機に自分が世帯主の国保に切り替える形になりました。
（その後働き始めたため、間もなく社会保険になりましたが）
転入届を出す際窓口の方にその旨も聞かれると思うので、一緒に手続きを済ませてしまいましょう。

また運転免許証をお持ちの方は、警察署に住所変更の手続きに行くとき住民票も１通必要になるので、この場でついでにとっておくことをお勧めします。

免許証の住所変更

最寄の警察署へ免許証、住民票などの本人確認資料、写真（県外から転居して来た場合、写真も提出しなければいけないことが多いです）を持っていって手続きします。
持ち物はあらかじめ最寄りの警察署に確認したり、警察署のHPで確認しておくと安心です。

＊余談ですが、パスポートは住所変更のみの場合、特に手続きは必要ないそうです。
結婚などで姓が変わった場合と、本籍の都道府県が変わった場合に、申請する必要があるそうです
（詳しくは、最寄りの旅券窓口へご確認ください）。